"Riris Apriana Kartika Hutabarat": PARABOLA

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering diperhadapkan kepada banyak masalah yang berhubungan dengan geometri. Yang berhubungan dengan titik, garis dan bidang-bidang. Sangat diperlukan pemahaman terhadap hal hal yamh berhubungan dengan geometri agar dengan itu kita dapat menghadapi berbagai persoalan yang kita hadapi.

Dalam makalah ini kami akan membahas beberapa materi yang berhubunngan dengan geometri. Materi yang kami bahas adalah “parabola”.

Untuk lebih mengenal lagi bagaimana geometri itu itu dan materi yang kami bahas, maka mari kita bersama-sama melihat makalah ini dan mencoba memahaminya.

B. Perumusan Masalah

1) Apa defenisi dari parabola ?

2) Bagaimana persamaan dari parabola ?

3) Bagaimana persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak (0,0) ?

4) Bagaimana persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak (a,b) ?

C. Tujuan

Adapun tujuan penyusun makalah ini adalah:

1) Menentukan persamaan parabola ?

2) Menentukan garis singgung parabola ?

3) Menentukan persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak ?

BAB II

PEMBAHASAN

· Definisi Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu.

Parabola adalah diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai direktriks.

Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat dituliskan sebagai (x, –p).

Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa d₁ = d₂, kita mendapatkan,
Description: Menemukan Persamaan Hiperbola

Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks dari suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah

y² = 4px.

· Persamaan Garis Singgung yang mempunyai kemiringan m.

1. Persamaan garis singgung parabola melalui titik pusat (0 , 0)

o Persamaan garis singgung y melalui titik P (x_1,y₁) yang terletak pada parabola , dapat dinyatakan sebagai:

Dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:

Dititik (x_1,y₁) : m =

Dengan demikian persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

y₁y = -2p (x +x₁)

nilai m =

didistribusikan ke persamaan

diperoleh

o Persamaan garis singgung yang melalui titik P (x_1,y₁) yang terletak pada parabola x² = - 4py, dapat dinyatakan sebagai

dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti pada tabel dibawah ini:

No	Persamaan parabola	Persamaan garis singgung
1	y² = 4px	y₁y =2p (x + x₁)
2	y² = - 4px	y₁y = - 2p (x + x₁)
3	x² = 4py	x₁ x = 2p (y + y₁)
4	x² = - 4py	x₁ x = - 2p (y + y₁)

Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m

Ø Misalnya titik P (x_1,y₁) terletak pada parabola y²= -4px dan

: y = mx + b maka :

x + b²+ 4px = 0

4p )x + b² = 0

Garis

menyinggung parabola y² = -4px, maka berlaku D = 0, sehingga b²– 4ac = 0

(2mb + 4p )² – 4 m² b²= 0

= 0

16mbp =

mb =

mb = - p

b =

Subtitusi b =

pada persamaan garis

, diperoleh y = mx +

Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y²= -4px dengan gradien m adalah y = mx +

Ø Misalnya titik P (x_1,y₁) terletak pada parabola x² = 4py dan

: y = mx+b, maka

Garis

menyinggung parabola x² = 4py, maka beraku D = 0, sehingga: b²– 4ac = 0

Subtitusi

pada persamaan garis

, diperoleh y = mx

Jadi persamaan garis singgung pada parabola x² = 4py

dengan gradien m adalah y = mx

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel berikut ini:

No	Persamaan parabola	Persamaan garis singgung
1.	y² = 4px	y = mx +
2.
3.		y = mx
4.

· Persamaan garis singgung parabola melalui titik pusat (a , b)

a. Untuk parabola dengan bentuk umum (x – a)² = 4p (y – b)

Dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan mensubstitusikan y = mx + n ke dalam persamaan parabola

(x –a)²= 4p (y – b)

Subtitusi y = mx + n

(x –a)²= 4p (mx + n – b)

x² – 2ax + a² = 4pmx + 4p(n - b)

x²– 2ax + a² – 4pmx – 4p(n – b) = 0

x² – 2ax – 4pmx + a² – 4p(n – b) = 0

x² + ( -2a – 4pm)x + a² – 4p(n – b) = 0

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D= 0

( -2a – 4pm)² – 4.1.(-4p(n – b ) + a² = 0

4a² + 16pma + 16pm² + 16p ( n – b) – 4a² = 0

16pma + 16p²m² + 16p (n – b) = 0

--------------------------------------------------------------------- : 16p

ma + pm² + (n – b) =0

(n – b) = -ma – pm²

n = -ma – pm² + b

Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)² = 4p (y – b) diperoleh dengan cara mensubstitusikan nilai n = -ma – pm² + b pada y = mx + n

y = mx + n

y = mx + ( -ma – pm² + b)

y = mx – ma – pm2 + b

y – b = m( x – a ) – pm2

Ø Untuk p dengan bentuk umum (y – b)² = 4p( x – a) dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh garis singgungnya dengan mensubstitusikan garis y = mx + n ke dalam persamaan parabola

(y – b)² = 4p( x – a)

((mx + n) – b)² = 4p(x – a)

(mx – n)² – 2(mx + n)b + b² = 4p( x - a)

m²x² + 2mxn + n² – 2mbx - 2bn + b²= 4p( x – a)

m2x2 + 2mnx – 2mbx – 4px + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0

m2x2 + (2mn – 2mb – 4p)x + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0

Û(( 2mn – 2mb) – 4p)2 – 4m2(4pa - 2bn + n2 + b2) = 0

Û4m²n² – 8m²nb – 4m²b² – 16mnp + 16mbp +16p² – 16m²pa + 8m²bn – 4m²n² – 4m²b² = 0

Û - 16mnp + 16mbp + 16p²– 16m²pa = 0

---------------------------------------------------------- : 16p

Û - mn + mb + p – m²a = 0

Û - mn = - mb + m²a – p

Û - mn = m (ma – b) – p

Û n = - (ma – b) –

Subtitusi nilai n pd persamaan y = mx + n

y = mx + n

y = mx + (- ma + b) –

(y – b) = m(x – a) -

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel di bawah ini.

No	Persamaan parabola	Persamaan garis singgung
1	(y – b)² = 4p( x – a)
2	(y – b)² = - 4p( x – a)
3
4

Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1)

v Persamaan garis singgung parabola (y – b)² = 4p( x – a) di titik P (x₁, y₁)

(y₁ – b)² = 4p( x₁ – a)

y₁² – 2by₁ + b² = (4p (x₁ – a)

y₁² = 2by₁ –b² + 4px(x₁ – a) .........(i)

Persamaan garis singgung melalui P (x₁, y₁)

adalah (y – y₁) = m (x – x₁)............(ii)

Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Jadi m di titik P (x₁, y₁) =

Subtitusi (iii) ke (ii)

Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (IV)

v Persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x₁, y₁)

Persamaan garis singgung melalui p(x₁, y₁) adalah

(y – y₁) = m (x – x₁) ……………….(ii)

Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:

jadi m =

Subtitusi persamaan ini ke persamaan (ii)

Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (iv)

Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)² = 4p(y – b) di titik P (x₁, y₁)

(x – a) (x₁ – a) = 2p (y +y₁ - 2p)

Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti tabel dibawah ini:

No	Persamaan parabola	Persamaan garis singgung
1	(y – b)² = 4p( x – a)	(y – b) (y₁ – b) = 2p (x +x₁ - 2a)
2	(y – b)² = - 4p( x – a)	(y – b) (y₁ – b) = - 2p (x +x₁ - 2a)
3	(x – a)² = 4p(y – b)	(x – a)(x₁ – a) = 2p ( y + y₁ -2b)
4	(x – a)² = - 4p(y – b)	(x – a)(x₁ – a) = - 2p ( y + y₁ -2b)