BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering
dihadapkan kepada banyak masalah yang berhubungan dengan geometri. Yang berhubungan dengan titik, garis dan
bidang-bidang. Sangat diperlukan pemahaman terhadap hal hal yang berhubungan
dengan geometri agar dengan itu kita dapat menghadapi berbagai persoalan yang
kita hadapi.
Dalam makalah ini kami akan membahas
beberapa materi yang berhubungan dengan geometri. Materi yang kami bahas adalah
elips.
B. Perumusan
masalah
- Apa yang dimaksud dengan elips ?
- Bagaimana persamaan elips yang berpusat di O(0,0) ?
- Bagaimana persamaan elips yang berpusat di A(p,q) ?
- Bagaimana persamaan garis singgung elips dengan bergradien m ?
- Bagaimana persamaan garis singgung elips melelui titik ?
C.
Tujuan
Adapun tujuan
penyusun makalah ini adalah:
1.
Menentukan persamaan
elips?
2.
Menentukan persamaan
garis singgung elips ?
A.
Pengertian
Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.
Secara geometri, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik
dalam bidang yang jumlah jarak dari dua titiknya konstan. Suatu elips punya dua
sumbu simetri, yaitu sumbu sumbu utama (sumbu panjang) dan sumbu minor (sumbu
pendek). Titik potong sumbu-sumbu tersebut disebut titik pusat elips.
Gambar ellips
Bagian-bagian elips:
Ø dua sumbu simetri, yaitu garis yang melalui titik-titik fokus F1&
F2 dan garis yang melalui titik tengah F1&F2.
Ø Titik fokus elips yaitu F1&F2.
Ø Titik pusat elips adalah di titik O.
Ø Sumbu utama atau sumbu transversal adalah
sumbu simetri yang melalui titik-titik focus F1&F2.
Ø Puncak elips adalah A1&A2.
Ø Sumbu panjang atau sumbu mayor adalah ruas garis A1 A2
Ø Sumbu minor adalah ruas garis B1
B2.
Hubungan antara a, b, dan c
Misalkan OF1 = OF2 = c
B1F1
= B1F2 = B2F1 = B2F2 = a
OB1
= OB2 = b
Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga OB2F2 :
b2 = a2 +
c2
Contoh soal :
Tentukanlah titik pusat, jari-jari
pendek dan panjang dari persamaan elips 4x2 + 9y2 +16x -
18y - 11 = 0
Penyelesaian :
4x2+9y2+16x-18y-11=0
4x2+16x+9y2-18y-11=0
4(x2+4x)+9(y2-2y)-11=0
4(x2+4x+4)+9(y2-2y+1)=11+16+9
4(x+2)2+9(y-1)2=36
Pusat elips (-2,1)
Jari-jari panjang a2 = 9, maka a =
√9 = 3
Jari-jari pendek b2 = 4, maka b = √4
= 2
B.
Persamaan
Elips yang Berpusat di O (0,0)
Persamaan
elips dengan titik pusat O (0,0), dengan sumbu mayor elips brimpit dengan sumbu
X. jarak titik pusat elips dengan focus adalah c sehingga F1(-c,0), F2(c,0)
puncak elips di B(-a,0) dan B(a,0).
Misalkan P(x, y) sembarang
titik pada elips dan penjumlahan jarak terhadap titik focus adalah 2a. sehingga
d(F1,P) + d(F2,P) = 2a
√(x + c)2+(y – 0)2
+ √(x – c)2+(y – 0)2 = 2a
√(x + c)2+(y)2
= 2a - √(x – c)2+(y)2 (Kuadratkan)
(x + c)2+(y)2 =
4a2 - 4a√(x – c)2+y2 + (x – c)2 + y2
x2 + 2cx + c2 +y2
= 4a2 – 4a√(x – c)2+y2 + x2 = 2cx +
c2 + y2
x2 – x2
+ 2cx + 2cx + c2 – c2 + y2 – y2 -4a2
= -4a√(x – c)2+y2
4cx – 4a2 = - 4a√(x
– c)2+y2
4a√(x – c)2+y2
= 4a2 – 4cx
a√(x – c)2+y2
= a2 – cx (Kuadratkan)
a2((x-c)2+y2)
= (a2 – cx)2
a2(x2 –
2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2c + c2x2
(a2 – c2)x2
+ a2 + y2 = (a2 – c2)a2 (Dibagi a2(a2 – c2))
x2 + y2
= 1
a2 (a2-c2)
Karena a2-c2 = b2 dan b>0
maka,
atau b2x2
+ a2y2 = a2b2
Persamaan direktris x =
Nilai eksentrisitas e =
Adapun persamaan elips
berpusat di O (0,0), fokus F1(0,-c) dan F2(0,c), sumbu mayor
berimpit dengan sumbu y.
Persamaannya
adalah:
x2 + y2=
1, a > b atau a2x2 + b2y2 = a2b2
b2 a2
dengan b2
= a2-c2
Persamaan direktris y =
Persamaan eksentrisitas e =
Contoh soal:
Sebuah elips mempunyai persamaan
= 1. Tentukanlah
a. Koordinat pusat, focus, dan
puncak dari elips
b. Panjang sumbu mayor dan
sumbu minor
c. Gambarkan elips tersebut!
Jawab:
a. Gunakan
= 1
= 1
A = 5, b = 4 dan c =
=
=
= 3
Koordinat titik pusat di O(0,0)
Koordinat focus di F1(-3,0) dan F2(3,0)
Koordinat titik puncak di A(-5,0) dan
B(5,0)
Titik potong dengan sumbu y di C(0,-4) dan D (0,4)
b. Panjang sumbu mayor 2a = 2
. 5 = 10
Panjang sumbu minor 2b = 2 . 4 = 8
C.
Persamaan
Elpis Berpusat di A(p,q)
Elips berpusat di A(p,q), sumbu
utama sejajar dengan sumbu x, panjang sumbu mayor 2a, dan panjang sumbu minor
2b. Dengan menggunakan
definisi elips, dapat ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :
+
=1
Dan
hubungan a2 = b2 + c2
x = p -
|
g2
x = p +
|
B2
(p, q+b)
|
P(x,y)
|
A1
(p-a, q)
|
B1
(p, q-b)
|
A2
(p+a, q)
|
F1
(p-c, q)
|
F2
(p+c, k)
|
A(p,q)
|
Sumbu utama y
=q
|
Berdasarkan elips di atas,
dapat ditentukan beberapa hal berikut :
a. Sumbu utama adalah garis y = q dan sumbu
sekawan adalah garis x = p.
b.
Koordinat puncak di A1
(p-a,q) dan A2 (p+a,q), koordinat titik ujung sumbu minor adalah B1
(p, q-b) dan B2 (p, q+b).
c. Koordinat focus di F1 (p-c,q)
dan F2 (p+c,q).
d.
Nilai Eksentrisitas e =
e.
Persamaan direktriks adalah
x = p -
dan g2
x = p +
f.
Panjang latus rectum =
Elips yang
berpusat di A(p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu y, panjang sumbu
mayor = 2a, dan panjang sumbu minor 2b.Dengan menggunakan definisi elips, dapat
ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :
+
=1
Sumbu utama x
=p
|
g2
y
= q +
|
P(x,y)
|
A(p,q)
|
A2
(p, q+a)
|
F2
(p, q+c)
|
B2
(p, b+q)
|
A1
(q, p-a)
|
B1
(p-b,q)
|
F1
(q, p-a)
|
y
= q -
|
Berdasarkan gambar di atas, dapat ditentukan beberapa
hal berikut :
a.
Sumbu utama adalah garis x = p
dan sumbu sekawan adalah garis y = q.
b.
Koordinat puncak di A1
(q, p-a) dan A2 (p,q+a), koordinat titik ujung sumbu minor adalah B1
(p-b,q) dan B2 (p+b,q).
c. Koordinat focus di F1 (p,q-c)
dan F2 (p,q+c).
d.
Nilai Eksentrisitas e =
e.
Persamaan direktriks adalah
y = q -
dan g2
y = q +
f.
Panjang latus rectum =
Bentuk Umum Persamaan Elips
Jika bentuk baku
persamaan elips itu dijabarkan, maka kita dapat memperoleh bentuk umum
persamaan elips, sebagai contoh :
+
=1
|
b2 (x-p)2
+ a2(y-q)2 = a2b2
b2 (x2-2px+p2)
+ a2(y2-2qy+q2) = a2b2
b2x2-2b2px
+ b2p2 + a2y2 – 2a2qy +
a2q2 – a2b2 = 0
b2x2 +a2y2
– ab2px – 2a2qy + (b2p2 + a2q2
– a2b2) = 0
Dengan menetapkan b2
= a, a2=B, -2b2p=c, -2a2q=D, dan b2p2+a2q2-a2b2
= E, maka persamaannya dapat ditulis :
Ax2 +By2 + Cx +
Dy + E = 0
|
Dengan A, B, D, D, dan E
merupakan bilangan-bilangan real (A
B
, A
B, A dan B
bertanda sama ). Persamaan ini disebut bentuk umum persamaan elips.
Contoh :
Diketahui
elips dengan persamaan
+
= 1,
tentukan :
a.
Koordinat titik pusat,
koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor dan koordinat focus.
b.
Persamaan sumbu utama,
persamaan sumbu sekawan, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor.
c.
Nilai eksentrisitas dan
persamaan direkstriks.
d.
Panjang latus rectum
e.
Gambar
Jawab:
+
= 1,
merupakan elips horizontal dengan a2 =
=> a =
, dan b2
= 4 => b = 2, dari hubungan c2=a2-b2,
didapat c2=
- 4=
=> c =
a.
Koordinat titik pusat di M(4,3)
Koordinat titik puncak A1
(p-a,q) = (4-
, 3) = ( 1
, 3)
A2 (p+a,q) = (4+
, 3) = (6
, 3)
Koordinat titik ujung
sumbu minor B1 (p, q-b) = (4, 3-2) = (4,1)
B2
(p, q+b) = (4,3+2) = (4,5)
Koordinat focus F1
(p-c,q) = (4-
,3) = (2
, 3)
F2 (p+c,q) = (4+
,3) = (5
, 3)
b. Persamaan sumbu utama adalah y=3 dan persamaan
sumbu sekawan adalah x = 4
Panjang sumbu mayor = 2a = 2 (
) = 5 dan
panjang sumbu minor = 2b= 2(2) = 4
b. Nilai
eksentrisitas e =
=
=
= 0,6
c.
Persamaan direktriks
x = p -
= 4-
= -
g2
x = p +
= 4+
= 8
d. Panjang
latus rectum =
=
=
PERSAMAAN ELIPS DALAM KOORDINAT POLAR
1. Dalam Koordinat Polar, secara umum r = , a = konstanta
(i). є < 1 à ellips
(ii). є = 1 à parabola
(iii). є > 1 à hiperbola
(i). є = ½ < 1 à ellips à r = à
r – r cos Ө = 2 a à r = r cos Ө + 2 a
√(x2 + y2) = x + 2 a à P
x2 + y2 =
(x + 2 a)2 à
= x2 + 2 ax + 4a2àx2 – 2 a x + y2 = 4a2
(x2 – a x )+ y2 = 4a2
+ y2 = 4a2 + a2
+ y2 = a2 à ellips denngan pusat (a, 0)
D.
Persamaan Garis Singgung Elips
1. Garis Singgung dengan Bergradien m
Jika garis h = y = mx + n menyinggung elips
= 1, = 0, maka besarnya diskriminan D = 0 dari persamaan kuadrat yang dihasilkan dari
dua persamaan diatas adalah:
= 1 = 1
= 1
=
= 0
a b c
D = - 4ac
= - 4
=
=
D = -4
Sehingga dapat dicari persamaan garis
singgung pada elips:
-4
= 0
= 0
n =
Jadi, persamaan garis singgung pada
elips
= 1 dengan gradient m didefinisikan dengan persamaan:
y =
Contoh :
Persamaan garis singgung pada elips
= 1, dengan gradient m = 3. Tentukan persamaan
garis singgung tersebut!
Jawab:
= 1, diperoleh a2=
4 ⟶ a = 2
b2 = 16 ⟶ b = 4
Persamaan garis singgunngnya adalah:
y =
= 3x
= 3x
= 3x
= 3x
Jadi
persamaan garis singgungnya adalah y = 3x
2.
Garis
Singgung melalui Titik Pada Elips
y
h
P
x
+
Gambar di
atas memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung elips
di
titik P(x1,y1), maka persamaan garis h adalah:
y - y1
= m(x -x1) ………………………………….(1)
secara
beometri gradient garis singgung di titik P(x1,y1)
adalah:
m =
Dengan
mengambil diferensial pada elips
+
,maka:
d(
) = d(1)
d
=
d(1)
…………………………………….(2)
Sehingga
dapat disimpulkan persamaan m =
dideferensilkan pada elips
titik P(x1,y1) adalah:
m =
=
dari persamaan
(1) dan (2), diperoleh:
y-y1
=
(x-x1)
y-y1 (a2y1)
= -b2x1 (x-x1)
a2yy1-a2y12
= -bxx1+b2x12
a2yy1
+ bxx1 = a2y12 + b2x12 ………………………………….(3)
Karena P(x1y1)
terletak pada elips
dan
Jadi
persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1y1)
terletak pada elips
adalah:
Elips
horizontal =
Elips
vertikal =
Contoh:
Tentukan
persamaan garis singgung pada elips x2+2y2-16 = 0,
dititik P(2
,2) ?
Jawab:
x2+2y2-16
= 0 ⟶ x2 + 2y2 = 16
= 1
dititik P(2
,2) ⟶
= 1⟶
ini
artinya P(2
,2) terletak pada
elips
= 1, jadi persamaan garis singgungnya:
=1
1
x + 4y = 1 6
, x + 2y = 8
2y = 8
y = 4
,
3. Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Elips dari Suatu Titik di Luar
Elips.
Untuk
menentukan garis singgung elips melalui titik di luar elips, tidak terdapat
rumus yang baku, untuk menentukannya dapat digunakan rumus pada butir a dan b
sebagai dasar pertolongan perhitungan.
Contoh:
1. Tentukan
persamaan garis singgung pada elips
melalui titik
p(2,7), tentukan titik singgungnya……..?
Jawab :
⟺
y =
⟺
= 1
x2 – 2x - 48 = 0
( x-8) (x+6) = 0
x = 8 dan
x = -6
untuk
maka
untuk
maka
titik singgungnya adalah
dan
Persamaan garis singgung
melalui titik
dan titik
adalah
LATIHAN SOAL:
1.
Diketahui
elips dengan persamaan 100x2 + 36y2 = 225. Tentukanlah:
a. Koordinat focus, pusat, dan puncak elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
2.
Persamaan
garis singgung pada elips
, dengan gradient m = 5. Tentukan persamaan garis singgung tersebut!
3.
Tentukan
persamaan garis singgung pada elips x2+2y2 = 12, dititik P(2,-2)
4.
Garis singgung pada
elips ditarik dari titik (1,2)di luar elips
tentukan
persamaan garis singgung tersebut!
Tidak ada komentar:
Posting Komentar