Sabtu, 28 November 2015

ELIPS



BAB I
PENDAHULUAN

A.   Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan kepada banyak masalah yang berhubungan dengan geometri. Yang  berhubungan dengan titik, garis dan bidang-bidang. Sangat diperlukan pemahaman terhadap hal hal yang berhubungan dengan geometri agar dengan itu kita dapat menghadapi berbagai persoalan yang kita hadapi.
Dalam makalah ini kami akan membahas beberapa materi yang berhubungan dengan geometri. Materi yang kami bahas adalah elips.

B.   Perumusan masalah
  1. Apa yang dimaksud dengan elips ?
  2. Bagaimana persamaan elips yang berpusat di O(0,0) ?
  3. Bagaimana persamaan elips yang berpusat di A(p,q) ?
  4. Bagaimana persamaan garis singgung elips dengan bergradien m ?
  5. Bagaimana persamaan garis singgung elips melelui titik ?

C.   Tujuan

Adapun tujuan penyusun makalah ini adalah:

1.      Menentukan persamaan elips?
2.      Menentukan persamaan garis singgung elips ?









A.     Pengertian Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.
Secara geometri, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik dalam bidang yang jumlah jarak dari dua titiknya konstan. Suatu elips punya dua sumbu simetri, yaitu sumbu sumbu utama (sumbu panjang) dan sumbu minor (sumbu pendek). Titik potong sumbu-sumbu tersebut disebut titik pusat elips.

Gambar ellips
 

 Bagian-bagian elips:        
Ø  dua sumbu simetri, yaitu garis yang melalui titik-titik fokus F1& F2 dan garis yang melalui titik tengah F1&F2.
Ø  Titik fokus elips yaitu F1&F2.
Ø  Titik pusat elips adalah di titik O.
Ø  Sumbu utama atau sumbu transversal adalah sumbu simetri yang melalui titik-titik focus F1&F2.
Ø  Puncak elips adalah A1&A2.
Ø  Sumbu panjang atau sumbu mayor adalah ruas garis A1 A2
Ø  Sumbu minor adalah ruas garis B1 B2.


Hubungan antara a, b, dan c
Misalkan          OF1 = OF2 = c
                    B1F1 = B1F2 = B2F1 = B2F2 = a
                    OB1 = OB2 = b
Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga OB2F2 : 
b2 = a2 + c2

Contoh soal :

Tentukanlah titik pusat, jari-jari pendek dan panjang dari persamaan elips 4x2 + 9y2 +16x - 18y - 11 = 0
                     
Penyelesaian :

4x2+9y2+16x-18y-11=0
4x2+16x+9y2-18y-11=0
4(x2+4x)+9(y2-2y)-11=0
4(x2+4x+4)+9(y2-2y+1)=11+16+9
4(x+2)2+9(y-1)2=36

         

Pusat elips (-2,1)
Jari-jari panjang a2 = 9, maka a = √9 = 3
Jari-jari pendek b2 = 4, maka b = √4 = 2






B.     Persamaan Elips yang Berpusat di O (0,0)
Persamaan elips dengan titik pusat O (0,0), dengan sumbu mayor elips brimpit dengan sumbu X. jarak titik pusat elips dengan focus adalah c sehingga F1(-c,0), F2(c,0) puncak elips di B(-a,0) dan B(a,0).
                      

Misalkan P(x, y) sembarang titik pada elips dan penjumlahan jarak terhadap titik focus adalah 2a. sehingga d(F1,P) + d(F2,P) = 2a
√(x + c)2+(y – 0)2 + √(x – c)2+(y – 0)2 = 2a     
√(x + c)2+(y)2 = 2a - √(x – c)2+(y)2             (Kuadratkan)

(x + c)2+(y)2 = 4a2 - 4a√(x – c)2+y2 + (x – c)2 + y2
x2 + 2cx + c2 +y2 = 4a2 – 4a√(x – c)2+y2 + x2 = 2cx + c2 + y2
x2 – x2 + 2cx + 2cx + c2 – c2 + y2 – y2 -4a2 = -4a√(x – c)2+y2
4cx – 4a2 = - 4a√(x – c)2+y2
4a√(x – c)2+y2 = 4a2 – 4cx
a√(x – c)2+y2 = a2 – cx     (Kuadratkan) 
a2((x-c)2+y2) = (a2 – cx)2
a2(x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2c + c2x2
(a2 – c2)x2 + a2 + y2 = (a2 – c2)a2   (Dibagi a2(a2 – c2))                        
   x2  +     y2 = 1
  a2        (a2-c2)     

Karena a2-c2 = b2 dan b>0 maka,
            atau     b2x2 + a2y2 = a2b2                    
Persamaan direktris x =                       
Nilai eksentrisitas e =                            
Adapun persamaan elips berpusat di O (0,0), fokus F1(0,-c) dan F2(0,c), sumbu mayor berimpit dengan sumbu y.


Persamaannya adalah:
  x2 +  y2= 1, a > b atau a2x2 + b2y2 = a2b2
  b2      a2
dengan b2 = a2-c2
Persamaan direktris y =                
Persamaan eksentrisitas e =        


Contoh soal:
Sebuah elips mempunyai persamaan = 1. Tentukanlah
a. Koordinat pusat, focus, dan puncak dari elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
c. Gambarkan elips tersebut!

Jawab:
a.    Gunakan  = 1
                     
            = 1
           
          A = 5, b = 4 dan c =  =  
                                         =  = 3
          Koordinat titik pusat di O(0,0)
          Koordinat focus di F1(-3,0) dan F2(3,0)
          Koordinat titik puncak di A(-5,0) dan B(5,0)
          Titik potong dengan sumbu y di C(0,-4) dan D (0,4)

b. Panjang sumbu mayor 2a = 2 . 5 = 10
    Panjang sumbu minor 2b = 2 . 4 = 8



C.     Persamaan Elpis Berpusat di A(p,q)
Elips berpusat di A(p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu x, panjang sumbu mayor 2a, dan panjang sumbu minor 2b. Dengan menggunakan definisi elips, dapat ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :
+ =1
Dan hubungan a2 = b2 + c2
x = p -
g2 x = p +
B2 (p, q+b)
P(x,y)
A1 (p-a, q)
B1 (p, q-b)
A2 (p+a, q)
F1 (p-c, q)
F2 (p+c, k)
A(p,q)
Sumbu utama y =q
 

Berdasarkan elips di atas, dapat ditentukan beberapa hal berikut :
a.     Sumbu utama adalah garis y = q dan sumbu sekawan adalah garis x = p.
b.    Koordinat puncak di A1 (p-a,q) dan A2 (p+a,q), koordinat titik ujung sumbu minor adalah B1 (p, q-b) dan B2 (p, q+b).
c.     Koordinat focus di F1 (p-c,q) dan F2 (p+c,q).
d.    Nilai Eksentrisitas e =
e.     Persamaan direktriks adalah x = p -  dan g2 x = p +
f.     Panjang latus rectum =
Elips yang  berpusat di A(p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu y, panjang sumbu mayor = 2a, dan panjang sumbu minor 2b.Dengan menggunakan definisi elips, dapat ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :
+ =1

Sumbu utama x =p
Dan hubungan a2 = b2 + c2
g2 y = q +
P(x,y)
A(p,q)
A2 (p, q+a)
F2 (p, q+c)
B2 (p, b+q)
A1 (q, p-a)
B1 (p-b,q)
F1 (q, p-a)
y = q -

Berdasarkan gambar di atas, dapat ditentukan beberapa hal berikut :
a.     Sumbu utama adalah garis x = p dan sumbu sekawan adalah garis y = q.
b.    Koordinat puncak di A1 (q, p-a) dan A2 (p,q+a), koordinat titik ujung sumbu minor adalah B1 (p-b,q) dan B2 (p+b,q).
c.     Koordinat focus di F1 (p,q-c) dan F2 (p,q+c).
d.    Nilai Eksentrisitas e =
e.     Persamaan direktriks adalah y = q -  dan g2 y = q +
f.     Panjang latus rectum =

Bentuk Umum Persamaan Elips
Jika bentuk baku persamaan elips itu dijabarkan, maka kita dapat memperoleh bentuk umum persamaan elips, sebagai contoh :
+ =1

 


b2 (x-p)2 + a2(y-q)2 = a2b2
b2 (x2-2px+p2) + a2(y2-2qy+q2) = a2b2
b2x2-2b2px + b2p2 + a2y2 – 2a2qy + a2q2 – a2b2 = 0
b2x2 +a2y2 – ab2px – 2a2qy + (b2p2 + a2q2 – a2b2) = 0
Dengan menetapkan b2 = a, a2=B, -2b2p=c, -2a2q=D, dan b2p2+a2q2-a2b2 = E, maka persamaannya dapat ditulis :
Ax2 +By2 + Cx + Dy + E = 0
 


Dengan A, B, D, D, dan E merupakan bilangan-bilangan real (A  B , A B, A dan B bertanda sama ). Persamaan ini disebut bentuk umum persamaan elips.

Contoh :
Diketahui elips dengan persamaan + = 1, tentukan :
a.    Koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor dan koordinat focus.
b.    Persamaan sumbu utama, persamaan sumbu sekawan, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor.
c.    Nilai eksentrisitas dan persamaan direkstriks.
d.   Panjang latus rectum
e.    Gambar
Jawab:
+ = 1, merupakan elips horizontal dengan a2 =  => a = , dan b2 = 4 => b = 2, dari hubungan c2=a2-b2, didapat c2= - 4=  => c =
a.     Koordinat titik pusat di M(4,3)
Koordinat titik puncak A1 (p-a,q) = (4- , 3) = ( 1 , 3)
                                   A2 (p+a,q) = (4+ , 3) = (6 , 3)

Koordinat titik ujung sumbu minor B1 (p, q-b) = (4, 3-2) = (4,1)
                                                   B2 (p, q+b) = (4,3+2) = (4,5)
Koordinat focus F1 (p-c,q) = (4- ,3) = (2 , 3)
                     F2 (p+c,q) = (4+ ,3) = (5 , 3)
b.  Persamaan sumbu utama adalah y=3 dan persamaan sumbu sekawan adalah      x  = 4
     Panjang sumbu mayor = 2a = 2 ( ) = 5 dan
     panjang sumbu minor = 2b= 2(2) = 4
b.    Nilai eksentrisitas e =  = = = 0,6
c.    Persamaan direktriks x = p - = 4-  = -
     g2 x = p +  = 4+  = 8
d.  Panjang latus rectum = =  =



PERSAMAAN   ELIPS  DALAM KOORDINAT POLAR
1. Dalam Koordinat Polar, secara umum  r =   ,  a = konstanta
(i).    є  < 1    à  ellips
(ii).   є  = 1    à  parabola
(iii).  є  > 1    à  hiperbola
(i).   є  = ½ < 1    à  ellips  à r =  à
r – r cos Ө = 2 a à r  =  r cos Ө  +  2 a
√(x2 + y2) =  x + 2 a à                                       P
x2 + y2 = (x + 2 a)2 à          
= x2 + 2 ax + 4a2à
x2 – 2 a x + y2  =  4a2
(x2 –  a x )+ y2  =  4a2
+ y2  =  4a2 +  a2
+ y2 =  a2   à ellips denngan pusat (a, 0)

D.      Persamaan Garis Singgung Elips
1.    Garis Singgung dengan Bergradien m
                        Jika garis h = y = mx + n menyinggung elips   = 1, = 0, maka besarnya diskriminan D = 0  dari persamaan kuadrat yang dihasilkan dari dua persamaan diatas adalah:


= 1 = 1

= 1

=

= 0



a b c

D = - 4ac

= - 4

=

=

D = -4 
Sehingga dapat dicari persamaan garis singgung pada elips:
-4 = 0
 = 0
 
    n =
Jadi, persamaan garis singgung pada elips  = 1 dengan gradient m didefinisikan dengan persamaan:
y =
Contoh :
Persamaan garis singgung pada elips  = 1, dengan gradient m = 3. Tentukan persamaan garis singgung tersebut!
Jawab:
  = 1, diperoleh a2= 4 a = 2
 b2 = 16 b = 4
Persamaan garis singgunngnya adalah:
y =
= 3x
= 3x
= 3x
= 3x
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 3x

2.    Garis Singgung melalui Titik Pada Elips
                            y
                                    h
                            P
                                                                                    x
                                                             +
Gambar di atas memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung elips   di titik P(x1,y1), maka persamaan garis h adalah:
y - y1 = m(x -x1)           ………………………………….(1)
secara beometri gradient garis singgung di titik P(x1,y1) adalah:
m =
Dengan mengambil diferensial pada elips  + ,maka:
d( ) = d(1)
d  = d(1)
 
     …………………………………….(2)
Sehingga dapat disimpulkan persamaan m =  dideferensilkan pada elips  titik P(x1,y1) adalah:
m =  =  
dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
y-y1 =  (x-x1)
y-y1 (a2y1) = -b2x1 (x-x1)
a2yy1-a2y12 = -bxx1+b2x12
a2yy1 + bxx1 = a2y12 + b2x12  ………………………………….(3)
Karena P(x1y1) terletak pada elips  dan  
Jadi persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1y1) terletak pada elips   adalah:
Elips horizontal =  
Elips vertikal =  





Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada elips x2+2y2-16 = 0, dititik      P(2 ,2) ?
Jawab:
x2+2y2-16 = 0 x2 + 2y2  = 16
 = 1
dititik P(2 ,2) = 1
ini artinya  P(2 ,2) terletak pada elips  = 1, jadi persamaan garis singgungnya:
 =1           1
 x + 4y = 1 6                                                                                                                                  , x + 2y = 8
                        2y = 8
                                      y = 4 ,

3.       Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Elips dari Suatu Titik di Luar Elips.
Untuk menentukan garis singgung elips melalui titik di luar elips, tidak terdapat rumus yang baku, untuk menentukannya dapat digunakan rumus pada butir a dan b sebagai dasar pertolongan perhitungan.
Contoh:
1.    Tentukan persamaan garis singgung pada elips  melalui titik p(2,7), tentukan titik singgungnya……..?
Jawab :
 
y =
= 1
      x2 – 2x -  48 = 0
 ( x-8) (x+6) = 0
x = 8 dan x = -6
untuk  maka
       untuk  maka
      titik singgungnya adalah  dan

Persamaan garis singgung melalui titik   dan titik adalah
 


LATIHAN SOAL:
1.         Diketahui elips dengan persamaan 100x2 + 36y2 = 225. Tentukanlah:
a. Koordinat focus, pusat, dan puncak elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
2.         Persamaan garis singgung pada elips , dengan gradient m = 5. Tentukan persamaan garis singgung tersebut!
3.         Tentukan persamaan garis singgung pada elips x2+2y2 = 12, dititik     P(2,-2)
4.         Garis singgung pada elips ditarik dari titik (1,2)di luar elips  tentukan persamaan garis singgung tersebut!

Tidak ada komentar:

Posting Komentar