ELIMINASI GAUSS DAN GAUSS JORDAN

BAB I

PENDAHULUAN

                                                                                            

1.1 Latar Belakang

Makalah ini dibuat untuk membantu para siswa memahami mata kuliah “ALJABAR LINIER”. Kuliah ALJABAR LINIER ini diberikan sebagai salah satu Mata Kuliah Wajib yang memiliki bobot 3 SKS (Satuan Kredit Semester). Tujuannya yang ingin didapat mata kuliah ini adalah untuk memahami konsep dasar dari SISTEM PERSAMAAN LINIER.

Berdasarkan latar belakang di atas penulis tertarik untuk melakuka dengan metode penyelesaian yaitu dengan metode Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan.

1.2 Rumusan Masalah

Bagaimana cara mengerjakan soal eliminasi Gauss dan Gauss Jordan

dan Invers Matriks ?

1.3 Tujuan

Pembuatan makalah ini sebagai tugas mata kuliah ALJABAR LINIER untuk lebih memahami metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan dan membantu pembaca lainnya yang ingin menyelesaikan sistem persamaan linier.

Manfaat dari makalah yang dibuat kelompok antara lain :

a.     Membantu memahami apa yang dimaksud metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.

b.     Membantu mempelajari langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan soal sistem persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Sistem Persamaan Linier

Di dalam matematika, system persamaan linier  adalah kumpulan persamaan-persamaan linier  yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:

Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriks

 Ax = b

Yang dalam hal ini,

Yaitu:

2.2  Metode Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

 

Ciri-ciri Eliminasi Gauss

a.       Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)

b.       Baris nol terletak paling bawah 

c.       1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya

d.      Dibawah 1 utama harus nol

Algoritma Metode Eliminasi Gauss

1.      Mengubah posisi letak baris.

2.      Mengalikan suatu baris dengan bilangan tidak 0 (nol).

3.      Menjumlahkan kelipatan suatu baris ke baris lain.

2.3  Eliminasi Gauss-Jordan

      Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode

eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama

suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua

elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

      Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut:

Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:

o   Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1). Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

o   Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.

2.4 Cara Menyelesaikan Matriks dengan Eliminasi Gauss Jordan

misal sebuah matriks:

a	b	c	x
d	e	f	y
g	h	i	z

1. ubah nilai a menjadi 1 dengan cara membagi baris 1 dengan nilai a.
2. ubah nilai d menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 2 dengan baris 1 di kali nilai d.
3. ubah nilai g menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 3 dengan baris 1 dikali nilai g.
4. ubah nilai e menjadi 1 dengan cara membagi baris 1 dengan nilai e.
5. ubah nilai h menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 3 dengan baris 2 di kali nilai h.
6. ubah nilai i menjadi 1 dengan cara membagi baris 3 dengan nilai i.
7 ubah nilai f menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 2 dengan baris 3 di kali nilai f.
8. ubah nilai c menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 1 dengan baris 3 dikali nilai c.
9. ubah nilai b menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 1 dengan baris 2 dikali nilai b.

Contoh soal:

1.      Diketahui persamaan linier

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan nilai x, y dan z ?

Penyelesaian ini menggunakan Eliminasi Gauss :

Misalnya

1   2   1    6                                                                  a   b   c     x

1   3   2    9                                                                  d   e   f     y

2   1   2    12                                                                g   h   i     z

Langkah 1 : ubah persamaan kedalam matriks

 

Langkah 2 : ubah nilai d = 0 dengan cara b2 – b1 dikali nilai d (b2 – (b1 x d))

 

Langkah 3 : ubah nilai g = 0 dengan cara b3 – b1 dikali nilai g (b3 – (b1 x g))

 

Langkah 4 : ubah nilai h = 0 dengan cara b3 – b2 dikali nilai h (b3 – (b2 x h))

 

Langkah 5 : ubah nilai i = 1 dengan cara b3 dibagi i (b3 : i)

 

Langkah 6 : ubah nilai e = 1 dengan cara b2 dibagi nilai e (b2 : e)

 

 

 

x + 2y + z = 6 

y + z = 3

z = 3

            y + z = 3

            y + 3 = 3

            y = 0

x + 2(0) + 3 = 6

x + 0 + 3 = 6

x + 3 = 6

x = 3

Jadi, x = 3, y = 0, dan z = 3

 

2.      Diketahui persamaan linier

x + 2y + 3z = 3

2x + 3y + 2z = 3

2x + y + 2z = 5

Tentukan nilai x, y dan z ?

Penyelesaian ini menggunakan Eliminasi Gauss – Jordan :

 

Misalnya

1   2   3    3                                                                  a   b   c     x

2   3   2    3                                                                  d   e   f     y

2   1   2    5                                                                  g   h   i     z

 

 

 

Langkah 1 : ubah persamaan kedalam matriks

 

Langkah 2 : ubah nilai d = 0 dengan cara b2 – b1 dikali nilai d (b2 – (b1 x d))

 

Langkah 3 : ubah nilai g = 0 dengan cara b3 – b1 dikali nilai g (b3 – (b1 x g))

 

Langkah 4 : ubah nilai h = 0 dengan cara b3 + b2 dikali nilai h (b3 + (b2 x h))

 

Langkah 5 : ubah nilai i = 1 dengan cara b3 dibagi i (b3 : i)

  

Langkah 6 : ubah nilai e = 1 dengan cara b2 dibagi nilai e (b2 : e)

 

Langkah 7 : ubah nilai f = 0 dengan cara b2 – b3 dikali nilai f (b2 – (b3 x f))

 

Langkah 8 : ubah nilai c = 0 dengan cara b1 – b3 dikali nilai c (b1 – (b3 x c))

  

Langkah 9 : ubah nilai b = 0 dengan cara b1 – b2 dikali nilai b (b1 – (b2 x b))

  

x + 2y + 3z = 3

y + 4z = 3

z = 1

            y + 4(1) = 3

            y = -1

x + 2(-1) + 3(1) = 3

x -2 + 3 = 3

x + 1 = 3

X = 2

Jadi, x = 2, y= -1, dan z = 1

2.5 INVERS MATRIKS

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers.

Definisi:

Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi persamaan AB = BA = I maka matriks A adalah matriks invers dari matriks B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.

2.5.1 INVERS MATRIKS ORDO 2 X 2

Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A ^{− 1} ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B ^{− 1}. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C. Matriks A =  dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan  (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1}

 

Contoh soal :

1.      Hitung invers matriks A_2×2 berikut A =.

Penyelesaian :

Jika kita punya matriks 2×2, misal A = , maka invers matriks dapat dihitung menggunakan rumus

A^-1 = B =  

=   

=  

2.      Tentukan invers dari matriks D =    

Jawab :

det D =    = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9

D ^-1=

=

=

= 
3. Buktikan Matriks dari:

A = , B = , AB =

Penyelesaian:

, ,

=

Ini membuktikan bahwa (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1}

2.5.2        INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3

Kita dapat menyelesaikan matriks ordo 3 x 3 ini dengan cara mereduksi A pada matriks satuan dengan menggunakan Operasi Baris Elementer dan menerapkan operasi ini secara serentak pada I untuk menghasilkan A^-1. Yang dimana Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas (I). Kemudian lakukanlah Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

Keterangan: I (Identitas)=  1   0   0

                                          0   1   0

                                          0   0   1

Rumus:                               

Contoh soal:

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A =

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

 

 

Langkah 1 : b2 – b1(2)

 

Langkah 2 : b3 – b1(1)

 

Langkah 3 : b3 – b2(-2)

 

Langkah 4 : b3 : (-1)

 

Langkah 5 : b2 – b3(-3)

 

Langkah 6 : b1 – b3(3)

 

Langkah 7 : b1 – b2(2)

 

Maka :

 

 

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah

A^-1 =  

BAB III

KESIMPULAN

Ø  system persamaan linier  adalah kumpulan persamaan-persamaan linier  yang memiliki variabel-variabel yang sama.

Ø  Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks               sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi.

Ø  Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Ø  Invers Matriks ordo 2 X 2 Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A ^{− 1} ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B ^{− 1}. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular).

DAFTAR PUSTAKA

ð  http://arifhidayat659.blogspot.com/2014/04/metode-eliminasi-gauss-dan-gauss-jordan.html

ð  Anton, H., 1992, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.

ð  Anton, Howard and rorres, Cris, “Elementary Linear Algebra with Aplications , 9^th Edition , John Wiley and Sons, 2005

ð  Sahid. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. 2005. Yogyakarta:ANDI

ð  Strang, Gilbert (2003). Introduction to Linear Algebra, 3rd edition, Wellesley, Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, 74-76.